4.4 随机变量的高阶矩

1 矩

设 $X$ 是随机变量，若

$$E(\lvert X \rvert^k) < +\infty, k=1,2,\cdots$$

则称 $E(\lvert x\rvert^k)$ 为 $X$ 的 $k$ 阶原点矩。

2. 协方差矩阵

将二维随机变量 $(X_1,X_2)$ 的四个二阶中心矩组成的矩阵称为协方差矩阵，记为

$$\begin{aligned} \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

其中

$$\begin{aligned} c_{11} &= E(X_1 - E(X_1))^2&= D(X_1), \\ c_{12} &= E(X_1 - E(X_1))(X_2 - E(X_2))&= \mathrm{cov}(X_1,X_2), \\ c_{21} &= E(X_2 - E(X_2))(X_1 - E(X_1)) &= \mathrm{cov}(X_2,X_1),\\ c_{22} &= E(X_2 - E(X_2))^2 &= D(X_2) \end{aligned}$$

将 $X$ 进行线性变换使得 $Y=AX$, 则 $C_Y=AC_XA^T$

3. N 维正态分布的协方差矩阵